SISTEMA NUMÉRICO TOTAL

SISTEMA NUMÉRICO TOTAL

En aritmética, álgebra y análisis matemático, un sistema numérico es un conjunto provisto de dos operaciones que verifican ciertas condiciones relacionadas con las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. El conjunto de los números enteros, los racionales o los reales son ejemplos de sistemas numéricos, aunque los matemáticos han creado muchos otros sistemas numéricos más abstractos para diversos fines. Además debe tenerse en cuenta que dado un sistema numérico existen diversas formas de representarlo, por ejemplo en los enteros podemos usar la representación decimal, la binaria, la hexadecimal, etc. En los racionales podemos optar por representarlos de manera decimal o como fracción de enteros, etc.

Los sistemas numéricos se caracterizan por tener una estructura algebraica satisfacer propiedades de orden (orden total, buen orden) y propiedades topológicas y analíticas (densidad, metrizabilidad, completitud) adicionales.

Ejemplos según estructura algebraica

Sistemas numéricos con estructura de anillo

• Los números enteros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ son uno de los ejemplos más sencillos de anillos.
• Los números enteros módulo n (donde ${\displaystyle n\neq p^{q}}$, con p un número entero primo).
• Los enteros gaussianos ${\displaystyle \mathbb {Z} +i\mathbb {Z} }$

Sistemas numéricos con estructura de cuerpo

• Los números racionales (${\displaystyle \mathbb {Q} }$), mínimo cuerpo que contiene al anillo (${\displaystyle \mathbb {Z} }$).
• Los números algebraicos (${\displaystyle \mathbb {A} }$) son una extensión algebraica de los número racionales (${\displaystyle \mathbb {Q} }$).
• Los números reales (${\displaystyle \mathbb {R} }$), mínimo cuerpo completo que contiene a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Los números complejos (${\displaystyle \mathbb {C} }$), mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Los números enteros módulo p (con p primo, (${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$) o aritmética modular de módulo p.
• Los números hiperreales (${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$)son una extensión de los números reales (${\displaystyle \mathbb {R} }$).
• Los números superreales son una generalización de los números hiperreales.
• Los números surreales son el cuerpo más grande posible que contiene a los reales y siguen siendo un cuerpo ordenado.

Sistemas numéricos con estructura de álgebra

• Los números cuaterniónicos
• Los números octoniónicos
• Los números sedeniónicos

Todos estos conjuntos son ejemplos de números hipercomplejos.